Titel: | Ueber die Berechnung des dynamischen Effects der Expansions-Dampfmaschinen; von Hrn. Choffel. |
Fundstelle: | Band 62, Jahrgang 1836, Nr. LX., S. 345 |
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LX.
Ueber die Berechnung des dynamischen Effects der
Expansions-Dampfmaschinen; von Hrn. Choffel.
Aus dem Bulletin de la Société industrielle de
Mulhausen, No. 42 u. 43.
Choffel, Berechnung des Effects der
Expansions-Dampfmaschinen.
Bei Berechnung des dynamischen Effects einer Dampfmaschine mit Expansion sezte man
bisher voraus, daß die Temperatur des Dampfes von dem Augenblike an, wo er zu wirken
anfaͤngt, bis zu demjenigen, wo seine Wirkung aufhoͤrt und er in den
Condensator, oder in die Luft uͤbergeht, sich constant bleibe. Man glaubte,
daß die Huͤlle (der Mantel) der Cylinder, durch welche der Dampf streicht,
hinreiche, um diese Bedingung zu erfuͤllen. Beruͤksichtigt man aber
die Geschwindigkeit, mit welcher die Expansion vor sich geht, so wird man sich
leicht uͤberzeugen, daß der Dampf, welcher sich in der Huͤlle
befindet, nur die Erkaͤltung durch Ausstrahlung verhindert, und daß seine
Waͤrme nicht Zeit hat, die Erniedrigung der Temperatur wieder auszugleichen,
welche der Dampf durch die Expansion erfaͤhrt.
Dieß hat mich bewogen, eine Formel zu suchen, welche geeignet waͤre, den
dynamischen Effect der Expansions-Dampfmaschinen mit einem oder mehreren Cylindern
zu berechnen, wenn man sowohl die Verduͤnnung des Dampfes, als auch die
daraus erfolgende Temperaturverminderung beruͤksichtigt haben will. Die
Formel, welche ich erhalten habe, ist fast so einfach, als die bisher angewandte,
troz des neuen Elementes, welches in dieselbe eingefuͤhrt ist. Sie gibt aber,
wie leicht vorherzusehen war, etwas geringere Resultate, welche folglich von
denjenigen der Praxis auch weniger entfernt sind.
Diese Formel schien mir vorzuͤglicher als die gewoͤhnliche, weil sie
einen Umstand beruͤksichtigt, der in lezterer vernachlaͤssigt ist; ich
habe deren Anwendung fuͤr die Mehrzahl der Faͤlle, die sich in der
Praxis darbieten, dadurch erleichtert, daß ich sie mit einer kleinen Tabelle
begleitete, welche denen, die davon Gebrauch machen, die Anwendung der Logarithmen
erspart, so daß, um sich ihrer zu bedienen, ganz einfache arithmetische Operationen
genuͤgen.
Bezeichnet man mit
p den Druk des Dampfes vor der Absperrung in Kilogr. auf
einen Met. Flaͤche,
V das Volum des Dampfes vor der Absperrung in Kubikmet.;
p₁ den Druk des Dampfes vor der Expansion, welche waͤhrend der Bewegung der Kolben
Statt findet;
V' das dem Druke p₁
entsprechende Dampfvolum;
p' den Druk des Dampfes, welcher mit dem Condensator
oder der Atmosphaͤre in Verbindung ist;
V₁ das Volum, welches die Kolben in den Cylindern
durchlaufen, waͤhrend sie dem widerstehenden Druke p' ausgesezt sind; m das Verhaͤltniß
der Volume des Dampfes vor und nach der Expansion = V'₁/V';
E den dynamischen Effect des Dampfes waͤhrend
eines Kolbenhubes, so erhaͤlt man:
(F) E =
pV + p₁V' × 10,86952 (1 – 1/m0,092) – p'V₁.
Um den theoretischen Effect einer Dampfmaschine, oder die Zahl der Kilogr. zu
erhalten, die sie in einer Secunde auf einen Meter hebt, muͤßte man das
zweite Glied der Formel (F) mit der Dauer t eines Kolbenhubes (in Secunden ausgedruͤkt)
dividiren.
Diese Formel ist auf alle Systeme von Dampfmaschinen anwendbar.
Wenn man jedoch deren Anwendung auf eine Maschine mit einem Cylinder, oder auf eine
Woolf'sche mit zwei Cylindern beschraͤnken
will, wuͤrde man erhalten: p₁ = p, V' = V und m = V₂/V (indem V₁ das der
groͤßten Expansion entsprechende Volum ist) und die Formel (F) wuͤrde:
(F') E =
pV + pV ×
10,86956 (1 – 1/m0,092) – p' . mV.pV ist der
dynamische Effect des Dampfes vor der Expansion;pV × (1 – 1/m0,092) die
Wirkung waͤhrend der Expansion;p'V₁ = p'mV der Widerstand desjenigen Dampfes, welcher in Communication
mit dem Condensator ist.Wenn man die Temperatur waͤhrend der Expansion als constant angenommen
haͤtte, wuͤrde die Formel (F)
folgende geworden seyn:E = pV + p₁V'(log. m). 2,30585 –
p'V₁;und statt der Formel (F') haͤtte man
erhalten:E =pV + pV(log. m) × 2,30585 –
p'mV,welches Resultat noch mit t zu dividiren
waͤre. A. d. O.
Es sey A die Anzahl der Kilogr., welche dem Druke einer
Atmosphaͤre auf eine Flaͤche von einem □ Met. entspricht:
A = 103345,5 Kilogr.
N die Zahl der Atmosphaͤren, welche die Spannung
des Dampfes vor der Expansion bezeichnet, n die Zahl von
Atmosphaͤren, welche die Spannung des Dampfes im Condensator ausdruͤkt; so erhaͤlt
man, um p und p' zu
berechnen,
p =AN, p' = An.
Tabelleder Werthe vonm0,092; vonm = 1, bis m = 20.
Werth von m.
Werthvon m0,092.
Werth von m.
Werthvon m0,092.
1
1,0000000
11
1,2468325
2
1,0658469
12
1,2568536
3
1,1063539
13
1,2661431
4
1,1360293
14
1,2748050
5
1,1595919
15
1,2829224
6
1,1792065
16
1,2905623
7
1,1960476
17
1,2977806
8
1,2108331
18
1,3046231
9
1,2240250
19
1,3111287
10
1,2359476
20
1,3173306
Waͤre m ein Bruch z.B. 5/2 so muͤßte man in
der Tabelle den Werth von 50,092, sodann von 20,092 suchen, und den ersten Werth durch den
zweiten dividiren:
50,092/20,092 = 1,1595919/1,0658469 = 1,0879535.
Anwendungen.
1) Eincylindrische Expansions-Maschine oder Woolf'sche
Maschine mit zwei Cylindern.
Die Formel (F') kann man fuͤr diesen Fall auf
die Form bringen:
E = ABL/t [N/m (1 + (1 – 1/m0,092) × 10,8695652)
– n]Wuͤrde man die Temperatur waͤhrend der Expansion als
constant betrachten, so erhielte man folgende Formel:E = ABL/t
{N/m
(1 + (log. m) × 2,30585) – n}.Es genuͤgt uͤberhaupt, in allen
Faͤllen1 – (1 – 1/m0,092) × 10,86956 zu
ersezen durch (log. m) ×
2,30585.A. d. O.
A = 10334,5 Met.
atmosphaͤrischer Druk auf eine Flaͤche von 1 □ Met.
B Flaͤche in □
Met., und
L Hub in Metern des Kolbens
desjenigen Cylinders, in welchem die Expansion vorsichgeht.
t Dauer eines Kolbenhubes in
Secunden.
N und n Anzahl der Atmosphaͤren, welche den Druk des Dampfes im
Kessel und im Condensator bezeichnen.
M = V₁/V, V Volum des Dampfes vor und
V, nach der Expansion.
Bei einer Maschine mit einem Cylinder wird also B die
Grundflaͤche dieses Cylinders und L der ganze
Hub seines Kolbens seyn; bei einer Woolf'schen
Maschine mit zwei Cylindern sind diese Werthe dagegen nur vom großen Cylinder
entnommen.
Es sey
B = 0m,10676 □, L = 0m,71,
t = 0'',707,
N = 2atm·1/4, m = 5/2, n = 0,1,
so wird die Formel geben:
Textabbildung Bd. 62, S. 348
= 1107,9929 (0,9 × 1,878729 – 0,1)
= 1762,6 Kilogr. gehoben auf 1 Met. in 1 Min.
E = 1762,6 = 23 1/2
Pferdekraͤfte.
E = 1762,6/75 = 23 1/2
Pferdekraͤfte.
2) Maschine von Aitken und
Steel.
Die Formel (F') laͤßt sich fuͤr diesen
Fall unter folgende Form bringen:
E = AV/t [N (1 +
(1 – 1/m0,092) × 10,8695652) – mn]
Es sey z.B. V (das Volum des Dampfes vor der
Expansion) = 0,538 Kubikmet., t – 60'', N = 3 1/2 Atm., n = 0,1.
Der Dampf fuͤllt nach der Expansion den großen und einen der kleinen
Cylinder, deren Verhaͤltniß wie 3 1/2 zu 1 ist, also wird V, = 1 + 3,5 = 4,5, V =
1, m = 4,5 = 9/2. Mit diesen Werthen erhaͤlt
man durch Anwendung der Formel einen theoretischen Effect von 98,4
Pferdekraͤften.
3) Maschine von
Roentgen.
In dieser Maschine veraͤndert sich das Volum des der Expansion
unterworfenen Dampfes von einem halben Kolbenhube zum anderen; man muß also, um
den durch die Expansion erzielten dynamischen Effect zu berechnen, jeden halben
Hub isolirt betrachten. Man wird ferner bemerken, daß der Druk des sich
expandirenden Dampfes fortwaͤhrend im Zunehmen begriffen ist. Diese
Zunaͤhme befolgt aber eine geometrische Progression, was die Bestimmung
des groͤßten Werthes, den dieser Druk annehmen kann, moͤglich
macht. (S. das Ende dieser Abhandlung.)
Um den dynamischen, durch den Dampf waͤhrend eines halben Hubes erzeugten Effect zu
bestimmen, schreibe man die Formel (F) fuͤr
einen halben Hub von ungeradem Range:
E = 1/2 pbl + p₁ (b + 1/2 B) l
(1 – 1/m0,092) × 10,8695652 – 1/2 p'Bl
und fuͤr einen halben Hub von geradem Range:
E' = 1/2 pbl + p₂ . bl/2 (1 – 1/m0,092) × 10,8695652 – 1/2 p'Bl
p und p' bezeichnen die
Pressionen im Kessel und im Condensator;
b und B die Basis des
kleinen und großen Kolbens;
l den Kolbenhub.
Textabbildung Bd. 62, S. 349
Will man den dynamischen Effect berechnen, der den groͤßten Werthen der
Pressionen p₁ und p₂ entspricht, so nehme man:
Textabbildung Bd. 62, S. 349
E + E' gibt den ganzen dynamischen Effect
waͤhrend eines Kolbenhubes.Wuͤrde man die Temperatur waͤhrend der Expansion als
constant betrachten, so erhielte man das Maximum vom Effect, wenn man in
den Werthen von p₁ und p₂, k = 1 sezen, und (1 –
1/m0,092) × 10,8695652 wieder durch (log. m) × 2,30585 in den Werthen von
E und E'
ersezen wuͤrde.A. d. O.
Entwiklung der Formel.
Wenn p die Spannung und V das
Volum des Dampfes vor der Expansion bezeichnet, so ist der durch den Dampf vor
seiner Expansion erzeugte dynamische Effect = pV.
Bezeichnet Z das Volum des Dampfes in einem beliebigen
Augenblike waͤhrend der Expansion, und x die
diesem Volum entsprechende Spannung, in der Voraussezung, die Temperatur
aͤndere sich nicht, so ist nach Mariotte's Gesez x : p₁ = V' : Z (1). (Die Werthe von p₁, und V' siehe S. 346).
Die Temperatur vermindert sich aber waͤhrend der
Expansion. Es sey T die urspruͤngliche Temperatur
des Dampfes, t seine Temperatur, wenn das Volum V' sich in Z. verwandelt
hat; man weiß nun, daß wenn die Temperatur eines in einem unveraͤnderlichen
Raume enthaltenen Gases sich aͤndert, auch die Spannung sich aͤndert,
und zwar im geraden Verhaͤltnisse des Volums, welches dieses Gas bei der neuen Temperatur
eingenommen haben wuͤrde; d.h. wenn das Volum durch Erniedrigung der
Temperatur zwei Mal geringer werden sollte, dasselbe sich aber gleich bleibt, so
wird die Spannung dafuͤr zwei Mal kleiner; dieß ist eine Folge von Mariotte's Gesez. Bezeichnet man
also mit x die Spannung des Dampfes bei T°, wenn die Temperatur auf t° faͤllt, so hat man, wenn y die Spannung bei lezterer Temperatur
ausdruͤkt:
y : x = 1 + at : 1 + aT
(2).
Aus (1) und (2) wird
Textabbildung Bd. 62, S. 350
Hr. Poisson hat in den Ann. de phys. et chim. Bd. XXIII. S. 339 folgende Formel
mitgetheilt, um die Veraͤnderungen der Temperatur, welche den
Veraͤnderungen des Volums entsprechen, auszudruͤken:
t = (266,67 + T) (d'/d)k–1 –
266,67.
T bezeichnet darin die urspruͤngliche Temperatur
des Gases;
d seine urspruͤngliche Dichtigkeit;
d' seine Dichte nach der Expansion oder die Compression
desselben;
t die Temperatur, welche zu d' gehoͤrt;
k das Verhaͤltniß der
Waͤrmecapacitaͤt des Gases unter einem constanten Druke zu seiner
Capacitaͤt unter einem constanten Volum.
Ersezt man in dieser Formel das Verhaͤltniß der Dichtigkeiten d'/d durch das umgekehrte
Verhaͤltniß der Volume V/Z, und substituirt fuͤr die unbekannte Groͤße t ihren Werth in
Textabbildung Bd. 62, S. 350
so findet man y = p₁ Vk/Zk.
Da dieser Werth von y die, irgend einem Volum Z, welches der Dampf durch Expansion einnimmt,
entsprechende Tension angibt, so wird der durch eine Expansion dz waͤhrend des Augenblikes dt erzeugte Effect y =
p₁V'k
dz/Zk seyn.
Integrirt man zwischen den Glaͤnzen V' und V₁ (lezteres ist das der groͤßten
Expansion entsprechende Volum s. S. 346), so findet man:
Textabbildung Bd. 62, S. 350
Also ist der waͤhrend eines Kolbenganges erzeugte
dynamische Effect:
Textabbildung Bd. 62, S. 351
Zieht man hievon die widerstehende Wirkung p' V, des Dampfes im Condensator ab, so resultirt
Textabbildung Bd. 62, S. 351
Um den Werth von k zu bestimmen,
gibt Poisson die Gleichung:
Textabbildung Bd. 62, S. 351
H bezeichnet darin die Tension bei der Temperatur T. Macht man H nach und nach
2, 4, 6 und 8 Atmosphaͤren gleich, substituirt dem T die entsprechenden Temperaturen, und ersezt 0,76 durch 1
Atmosphaͤre, so wird man Werthe fuͤr k
finden, die nur um einige Tausendtheile unter sich abweichen, und deren Mittel 1,092
ist. Nimmt man fuͤr k diesen WerthMan kann sich uͤberdieß auf folgende Art des wahren Werthes von k versichern. Man weiß, daß das Volum eines
Grammes Dampf 1696 Kubikcent. betraͤgt, wenn seine Tension dem
atmosphaͤrischen Druke gleich ist, berechnet man nun vermittelst der
Relation y = p₁
V'k/Zk
was das Volum Z wird, wenn durch die Expansion
die Tension y dem atmosphaͤrischen Druke
gleich wird, so findet man, wenn man die Tension p vor der Expansion nach und nach 2, 3, 4, 5, 6, 7 und 8
Atmosphaͤren gleich annimmt, die Werthe 1692,4 1694, 1695, 1696,
1697, 1700 und 1702,3. Sucht man ferner mittelst der Formelt = (266,67 + T) (V/Z)k–1 – 266,67,die Temperatur t des
Dampfes, wenn er sich dergestalt ausdehnt, daß, bei einer
urspruͤnglichen Tension von z.B. 5 Atmosphaͤren, seine
Spannung nach der Expansion nur mehr 1 Atmosphaͤre ist, so findet man
100°, wie es seyn muß. A. d. O. und substituirt ihn in der
Formel, so wird:
E = pV +
p₁V' ×
10,8695652 (1 – 1/m0,092) – p'V₁.
Bisher wurde nur ein gewisses Dampfvolum und seine Expansion unabhaͤngig von
den Cylindern betrachtet; man kann hieraus schon schließen, daß die Formel allgemein
ist; um aber keinem Zweifel Raum zu lassen, werde ich sie nun fuͤr mehrere
Systeme von Dampfcylindern entwikeln.
1) Woolf'sche Maschine mit zwei
Cylindern.
Es seyen B und b die
Basen des großen und kleinen Cylinders;
l die Laͤnge der Hube dieser Kolben, welche
wir fuͤrs Erste als gleich annehmen;
p der Druk vor der Absperrung.
Der dynamische Effect, welcher vom Dampfe vor der Expansion erzeugt wird, ist
wieder pV.
Es sey y der veraͤnderliche Druk
waͤhrend der Expansion, so wird man wieder haben y = p (Vk/Zk) (1) (hier V' = V u. p₁ = p).
Wir wollen annehmen, die Kolben seyen am Abwaͤrtssteigen und in einer
Entfernung x von ihrer hoͤchsten Lage;
durchlaufen sie nun im naͤchsten Zeitelemente eine Laͤnge dx, so ist der vom Dampfe erzeugte dynamische
Effect:
1) auf die obere Flaͤche des großen Kolbens Bydx;
2) auf die untere Flaͤche des kleinen Kolbens bydx.
Da dieser leztere Werth einen Widerstand der Bewegung ausdruͤkt, so muß
man ihn vom ersten abziehen, und erhaͤlt sonach
(B – b) ydx (2)
fuͤr den Gesammteffect des Dampfes in einem
Zeitelement waͤhrend seiner Expansion.
Wenn die Kolben in einer beliebigen Entfernung x von
ihrer obersten Stellung angelangt sind, so ist das vom ausgedehnten Dampfe
eingenommene Volum
Z = b (l – x) + Bx.
Subtrahirt man fuͤr Z
seinen Werth in (1), so ergibt sich
Textabbildung Bd. 62, S. 352
Dieß in (2) substituirt und das Resultat zwischen den
Glaͤnzen y = p
und y = p (Vk/V₁k)
integrirt, gibt:
Textabbildung Bd. 62, S. 352
wie vorher.
Waͤren die beiden Kolbenhube nicht von gleicher Laͤnge, so
wuͤrde man als dynamischen Effect waͤhrend eines Zeitelementes
erhalten (B – b)
ydx, und das Volum waͤre durch die
Gleichung gegeben Z = b
(l – x) + Bx', worin x' die vom großen Kolben durchlaufene Streke
andeutet, wenn der kleine Kolben den Raum x
durchstreicht. Offenbar ist aber
x' : x = l' : l also x' = (l'/l) x
und folglich Z = b (l – x) + B (l'/l) x = b (l – x) + B' x, wenn man B l'/l = B' sezt.
Macht man nun die Substitution und integrirt wieder zwischen y = p und y = p (Vk/V₁k)
so findet man nochmals das naͤmliche ResultatWenn man das Differential des dynamischen Effects unter der Form Bydx – bydx gelassen, und jedes der beiden
Glieder fuͤr sich integrirt haͤtte, nachdem man den Werth
von dx substituirte, so wuͤrde
man erhalten haben:Textabbildung Bd. 62, S. 353Also ist in den Woolf'schen Maschinen der mittlere Dampfdruk waͤhrend der
ExpansionTextabbildung Bd. 62, S. 353in der Maschine mit einem Cylinder dagegenTextabbildung Bd. 62, S. 353Betrachten wir die Temperatur waͤhrend der
Expansion als unveraͤnderlich, so erhalten wir fuͤr den
ersten Fall p/(k
– 1) · b/(B – b)
(log. m) × 2,302585 und im
zweiten Falle p/(k – 1) (log. m) ×
2,302585.A. d. O..
Da die zuerst gegebene Entwiklung sich offenbar auf eine Maschine mit einem
Cylinder bezieht, so sieht man aus der Identitaͤt der Resultate, daß der
dynamische Effect, welchen dasselbe Dampfvolum erzeugen kann, indem es von einem
bestimmten Druke zu einem anderen gegebenen uͤbergeht, immer derselbe
ist, die Expansion mag in einem einzigen oder in zwei getrennten Cylindern, wie
bei der Woolf'schen Maschine vor sich gehen.
2) Maschine mit drei Cylindern von
Aitken und Steel.
Dynamischer Effect vor der Expansion: pV.
Differential des dynamischen Effects waͤhrend der
Expansion: Bydx.
Derjenige der zwei kleinen Kolben, welcher den sich expandirenden Dampf
enthaͤlt, ist ohne Effect, weil er in beiderlei Richtung gleich stark
gedruͤkt wird.
Da der Dampf waͤhrend der Expansion einen der kleinen Cylinder
bestaͤndig fuͤllt, so erhaͤlt man Z = bl + Bx;
dieß in y = p (Vk/Zk) substituirt:
Textabbildung Bd. 62, S. 353
Das Integral von Bydx zwischen den
Graͤnzen y = p
und p Vk/(V + V')k (wo V'
das Volum des großen und V eines jeden der kleinen
Cylinder) wird hiemit
Textabbildung Bd. 62, S. 354
Der Werth des Widerstandes, welchen der Condensatordampf auf den großen und einen
der kleinen Kolben ausuͤbt, wird also p'V + p'V = p' (V + V').
Bezeichnet man mit V₁ das Volum V + V', welches dem
Maximum der Expansion entspricht, so erhaͤlt man wieder die schon
gefundene Formel.
3) Maschine mit zwei Cylindern nach
Roentgen.
Hier muͤssen wir aus schon oben angegebenen Gruͤnden den
dynamischen Effect fuͤr jeden halben Hub besonders berechnen.
1ster halber Hub. Wir nehmen an, der kleine Cylinder
sey mit Dampf von der Tension p gefuͤllt, und
der Kolben am hoͤchsten Punkt angelangt. Der große Cylinder
enthaͤlt also noch keinen Dampf, und sein Kolben ist in der Mitte seines
Laufes. Im Augenblik, wo der kleine Kolben anfaͤngt abwaͤrts zu
gehen, entsteht eine Verbindung zwischen dem kleinen und großen Cylinder, und
der Dampf des kleinen Cylinders geht zum Theil in die obere Haͤlfte des
großen Cylinders uͤber, so daß der Druk des Dampfes vor der durch die
Bewegung der Cylinder entstehenden Expansion, folgender ist:
Textabbildung Bd. 62, S. 354
wenn man b + ½ B = b₁ sezt.
Die Wirkung des Kesseldampfes auf die obere Flaͤche des kleinen Kolbens
wird 1/2 pbl; und der Widerstand des
Condensatordampfes auf den großen Kolben 1/2 p'Bl.
Der Differentialeffect der Expansion wird also
Bydx – bydx = (B – b) ydx (1).
Wenn jeder Kolben eine Distanz x von der Stellung,
die er im Anfange des halben Hubes einnahm, durchlaufen hat, so ist das Volum
des ausgedehnten Dampfes
Z = b (l – x) + B (½ l + x).
Wird dieses Z in dem Werthe von y substituirt, das Resultat in Bezug auf x und y differentiirt,
und der hiedurch erhaltene Werth von dx in (1)
gesezt, so erhaͤlt man nach dem Integriren zwischen den
Glaͤnzen
Textabbildung Bd. 62, S. 354
(b₂, statt B + ½ b gesezt)
fuͤr den dynamischen Effect der Expansion waͤhrend des ersten
halben Hubes
Textabbildung Bd. 62, S. 355
also in Bezug auf die Expansion wieder denselben Werth wie
in den vorigen Beispielen. Man sieht, daß b₁/b₂ = 1/m oder daß b₂/b₁ = b₂l/b₁l die Expansion
bezeichnet.
2ter halber Hub. Es sey der kleine Kolben in Mitte
seines niedersteigenden Laufes; der große Kolben im tiefsten Theil des seinigen.
Der Druk des Dampfes, welcher die untere Haͤlfte des kleinen Cylinders
fuͤllt, ist p₂ = b₁k/b₂k. Dieser Dampf tritt unter den großen
Kolben, und zwingt ihn zum Aufsteigen, waͤhrend der kleine Kolben
fortfaͤhrt nach Unten zu gehen.
Also wird man waͤhrend dieses halben Laufes nochmals haben:
½ pbl, ½ p'Bl und (B – b) ydx.
Der Werth von Z wird aber: Z = b (½ l – x) + Bx.
Bei gleichem Verfahren wie oben, findet man fuͤr den Werth des zwischen
den Glaͤnzen y = p₂ und y = p₂ bk/Bk
genommenen Integrals
Textabbildung Bd. 62, S. 355
welcher Ausdruk wieder gleich dem Druke p₂ ist (der vor der Expansion, die durch die Bewegung der Kolben im betrachteten halben
Hube entsteht, Statt findet) multiplicirt mit dem Volum 1/2 bl des sich expandirenden Dampfes etc.
3ter halber Hub. Der kleine Kolben sey in der
tiefsten Lage; der große Kolben in der Mitte. Der kleine Cylinder ist nun voll
Dampf von der Spannung p; im Augenblik wo der kleine
Kolben aufzusteigen beginnt, mischt sich dieser Dampf mit demjenigen, welcher
sich in der unteren Haͤlfte des großen Cylinders befindet, und dessen
Tension p₂ bk/Bk ist; die Tension der Mischung ist
folglich
Textabbildung Bd. 62, S. 355
Differentialeffect (B – b) ydx; Z = b (l – x) + B (½l + x).
Verfaͤhrt man wie oben und integrirt zwischen y = p₃ und y = p₃ b₁k/b₂k so erhaͤlt
man wieder
Textabbildung Bd. 62, S. 355
Sezt man diese Rechnungen so fort, so koͤmmt man immer zu analogen Resultaten; man
erhaͤlt so fuͤr den ersten halben Hub, wenn er von ungeradem Range
ist:
Textabbildung Bd. 62, S. 356
und fuͤr den folgenden halben Hub:
Textabbildung Bd. 62, S. 356
Um diese Formeln anwenden zu koͤnnen, braucht man nur die Pressionen pn und pn+1 zu bestimmen.
Betrachtet man die auf einander folgenden Pressionen p₁, p₂, p₃ mit ungeradem Index, so findet man
fuͤr den Ausdruk einer beliebigen unter ihnen, eine Summe von Gliedern,
die eine geometrische Progression formiren, deren erstes Glied p₁, das Verhaͤltniß (½b/b₂)k und die Zahl der Glieder der Zahl der
halben Hube von ungerader Ordnung gleich ist.
Sezt man also der Kuͤrze wegen (½b/b₂)k
= q, so findet man
pn = p₁ + p₁q +
p₁q² + ... + p₁qⁿ⁻¹.
Auf aͤhnliche Weise findet man fuͤr die geraden halben Hube
pn+1 = p₂ +
p₂q + p₂q² + p₂q³ + ... +
p₂qⁿ⁻¹ wo das erste Glied p₂ = p₁ (b₁/b₂)k seyn wuͤrde.
Hienach wird also:
Textabbildung Bd. 62, S. 356
Da die auf einander folgenden Pressionen immer abnehmen, so findet man ihre
Graͤnze, wenn man die Zahl der halben Hube unendlich groß sezt; dann
wird
Textabbildung Bd. 62, S. 356
Substituirt man diese Werthe in E und E', so erhaͤlt man das Maximum des
dynamischen Effects, welchen der Dampf bei jedem halben Laufe erzeugen kann.
In dem Falle, wo man die Temperatur waͤhrend der Expansion als constant
betrachtete, erhielte man
Textabbildung Bd. 62, S. 356
Textabbildung Bd. 62, S. 357
Die zwei lezten Ausbruͤte geben das Maximum der Werthe, welche die
Pressionen erreichen koͤnnen.